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LES MATHÉMATIQUES MODERNES

Compte tenu de la réorganisation des mathématiques à la fin du 19 ème
siècle, le début du 20 ème siècle s’est ouvert sur de nombreuses discussions
quant à leur orientation future. Comme nous l’avons vu précédemment,
une divergence des motivations et des projets avait résulté de l’abstrac-
tion croissante des concepts et des méthodes. En fait, alors que certains
mathématiciens travaillaient de plus en plus abstraitement, d’autres insis-
taient sur la nécessité de préserver les parties intuitives des mathéma-
tiques, et leurs connexions avec des outils pratiques, voire empiriques, y
compris de type physique ou géométrique.
À la fin du 19 ème siècle, Georg Cantor (1845-1918) et Julius Dedekind
(1831-1916) avaient analysé et commenté certaines idées fondamentales
du raisonnement mathématique. Ils avaient étudié en particulier les pro-
priétés des ensembles d’entités mathématiques, qu’il s’agisse des nombres
ou d’autres objets (comme l’ensemble des polynômes ou des fonctions
de variable réelle). Cantor s’intéressait en particulier aux ensembles infi-
nis, qui exprimaient la notion d’infini actuel, à la différence de l’infini
potentiel, auquel on se référait quand on parlait d’un nombre aussi grand
que l’on voulait. Et il parvint à une première classification apparemment
convaincante des différents domaines conceptuels infinis.
Il avait remarqué que l’ensemble de tous les nombres naturels et celui
de tous les naturels pairs avaient le même nombre infini d’éléments,
comme on pouvait le vérifier en établissant une correspondance qui as-
sociait un à un les éléments de ces ensembles. Il montra aussi que l’en-
semble des nombres réels avait, par contre, une infinité d’éléments, plus
grande donc que celle des entiers naturels et des entiers relatifs, car il
n’était pas possible d’y établir une correspondance biunivoque, bien que
l’ensemble des nombres réels contienne les deux ensembles de nombres.
Les idées de Cantor furent critiquées parce qu’elles étaient considé-
rées comme de nouvelles abstractions inutiles et dépourvues de sens.

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