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David Hilbert leur fournit un instrument qui semblait pouvoir re-
nouer le lien entre les mathématiques modernes et la tradition grecque,
en introduisant des modifications substantielles inspirées des nouvelles
orientations des mathématiques, mais intégrées à une nouvelle méthode
dite axiomatique. Hilbert choisit comme premier exemple didactique les
Éléments d’Euclide, et en 1899, il publia un livre intitulé Fondements de la
géométrie, qui rappelait dans sa présentation la forme du grand traité d’Eu-
clide, mais qui incluait des géométries non euclidiennes, qui d’étranges
qu’elles étaient devinrent ainsi mieux acceptables.
Le traité d’Hilbert ne contenait pourtant aucune définition du point,
de la droite et du plan. Il écrivait même, sous la forme d’une boutade, que
ces trois noms pouvaient être remplacés par chaise, table, et chope de
bière, car l’important n’était pas les objets, mais leurs propriétés. Ces pro-
priétés étaient dans les axiomes, qui n’établissaient pas des propriétés
vraies, mais des propriétés que l’on demandait de supposer comme vraies,
tant elles semblaient aller de soi logiquement. En admettant différents
groupes de propriétés et/ou d’axiomes, il devenait alors possible d’obtenir
des géométries différentes mais démontrables.
De cette façon, la définition et l’exposé des axiomes fondateurs de
chaque théorie devinrent une partie usuelle de la pratique de nombreux
mathématiciens, ces axiomes étant la première source d’information con-
cernant les objets de la théorie. Et même si un mathématicien se faisait une
autre idée des objets, en se référant par exemple à des intuitions géomé-
triques, dans ses démonstrations, il ne devait alors utiliser que ce qui était
affirmé par les axiomes, ou par les théorèmes issus de ces axiomes.
La première théorie à être réécrite de cette nouvelle façon fut la théorie
des ensembles, en excluant toutefois par précaution les ensembles étranges
responsables de paradoxes. Après être entrée dans cette normalité, la théo-
rie des ensembles fut plus largement adoptée comme langage basique,
puisqu’on partait d’un ensemble d’objets, même peu précis, où l’on intro-
duisait un processus de calcul selon certains axiomes convaincants.
Et une fois ces bases admises, des mathématiciens s’apprêtèrent à re-
voir les vieilles théories en tentant d’y résoudre les nombreux problèmes
en suspens. Hilbert lui-même, dans une célèbre conférence tenue au col-
loque international des mathématiciens de Paris en 1900, avait énuméré
vingt-trois grands problèmes restés ouverts. Au cours du 20 ème siècle,
plusieurs d’entre eux ont été résolus, mais d’autres restaient en attente
d’une solution.

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