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En revanche, elle devenait continue si l’on prenait en considération
d’autres nombres, parmi lesquels les irrationnels, comme, par exemple,
la racine de 2, dont l’expression décimale n’est pas périodique. L’en-
semble de tous les nombres qui la remplissaient de façon continue a été
appelé depuis lors l’ensemble des nombres réels, dont la représentation
abstraite mais calculable a été obtenue à la fin du 19 ème siècle.
Les algébristes, pour trouver les solutions de leurs équations, avaient
déjà eu recours à de nouveaux types de nombres, comme les racines car-
rées de nombres négatifs, dites aussi nombres impossibles ou nombres
imaginaires. Le plus célèbre de ces nombres était V-1, à partir duquel s’écri-
vaient tous les nombres de ce genre. Gauss démontra que, même en utili-
sant ces nombres complexes, il était possible de démontrer le théorème fon-
damental de l’algèbre, lequel affirmait que toute équation de degré n avait
exactement n solutions. Au cours du 19 siècle, l’utilisation de ces nombres
ème
fut progressivement clarifiée et on étudia aussi les fonctions dont la variable
ne représentait pas un nombre réel x, mais un nombre complexe z. Pourtant,
malgré l'apport de Cauchy, ces travaux ne réglaient pas encore tout.
On pouvait remarquer qu'un théorème fondamental disait combien il
y avait de solutions, mais sans expliquer comment les calculer. C’est no-
tamment pourquoi le vieux problème consistant à trouver une formule
générale pour la solution racines énièmes d’une équation algébrique,
comme pour les quadratiques, cubiques, et biquadratiques, était resté ir-
résolu. Le fait que l’algèbre ait été négligée au 18 ème siècle en faveur du
calcul infinitésimal n’arrangeait pas les choses. En l’absence de méthodes
exactes pour résoudre les équations de degré supérieur à quatre (c’est-à-
dire en l’absence d’une formule générale), de nombreux mathématiciens
utilisaient donc des méthodes approchées, dites numériques, c'est-à-dire
utilisant des opérations sur les coefficients numériques des équations.
Il y eut finalement une initiative pour expliquer de façon théorique
pourquoi il n’était pas possible de trouver une solution générale. En 1826,
un mathématicien norvégien, Niels Henrik Abel (1802-1829) démontra
effectivement l’impossibilité de résoudre l’équation de cinquième degré
par racines énièmes, mettant ainsi un point final à ce chapitre des re-
cherches mathématiques, et aux travaux directement liés.
Après lui, Evariste Galois (1811-1832) jeta pourtant les bases d’une
étude théorique abstraite des rapports entre les solutions des équations
algébriques et les ensembles numériques dans lesquels étaient définis les
coefficients des équations elles-mêmes.

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