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Cette idée de dépendance entre quantités a été encore renforcée quand
les équations ont été associées à des courbes, et utilisées pour représenter
une loi de variation mécanique, quantifiant la dépendance de l’espace par
rapport au temps, de la vitesse par rapport au temps, et ainsi de suite. Ceci
à plus forte raison lorsque le calcul infinitésimal introduisait des opérations
de différentiation (calcul de la dérivée) et d’intégration (calcul de l’intégrale)
donnant lieu à des équations encore plus complexes, dites différentielles.
Euler, dans son livre Introduction à l’analyse infinitésimale, avait défini le
concept d’une fonction d’une quantité variable qui serait une combinai-
son quelconque (même en nombre illimité) d’opérations sur un nombre.
Il distingua donc entre les fonctions algébriques (rationnelles, si l’on ap-
pliquait seulement les quatre opérations arithmétiques, ou irrationnelles,
si l’on admettait aussi l’extraction de racine) et les fonctions transcen-
dantes, comme le logarithme, la fonction exponentielle, les fonctions tri-
gonométriques (sinus, cosinus, tangente, etc.). Dans la période suivante,
les mathématiciens parvinrent même à manipuler d’autres fonctions arbi-
traires, qui faisaient correspondre à un nombre x un autre nombre y d’une
façon quelconque. Et ils ne s’intéressaient plus seulement à la formule de
la fonction, mais aussi à ses propriétés mathématiques extrapolées.
Auparavant, les mathématiciens du 18 siècle ne distinguaient pas net-
ème
tement entre la nouvelle analyse et l’algèbre antérieure. Ils appelaient sou-
vent analyse algébrique simple ce qui est appelé aujourd’hui analyse mathé-
matique, et analyse algébrique finie la théorie des équations algébriques. Or,
la nouvelle analyse, à la différence de l’algèbre, impliquait des quantités in-
finiment petites et des sommes infinies. Au début du 19 siècle, Augustin
ème
Cauchy (1789-1857), en préparant ses leçons à l’École polytechnique de Pa-
ris, commença donc à éclaircir et à formuler de façon rigoureuse ces idées,
en tenant compte d’une quantité qui pouvait devenir aussi petite que l’on
voulait, et d’une succession de nombres qui s’approchaient autant qu’on le
souhaitait d’une valeur fixe (la limite), ou d’une série infinie convergente,
c’est-à-dire dont la somme n’était pas infinie, mais était un nombre défini.
Le travail de Cauchy fut complété à la fin du siècle par le mathémati-
cien allemand Karl Weierstrass (1815-1897), et ces recherches suscitèrent
un nouvel intérêt pour les différents types de nombres et pour leurs rap-
ports. Depuis l'origine, les nombres utilisés avaient été ceux que l’on ap-
pelait les nombres naturels, 1, 2, 3,...; puis les fractions, le zéro, et les
nombres négatifs. Si l'on représentait tous ces nombres sur une droite,
en prenant comme point de départ le zéro, il restait pourtant encore des
places vides sur la droite.

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