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La théorie des proportions y jouait encore un rôle important, mais elle
était exprimée plutôt dans le nouveau langage algébrique de François Viète
(1540-1603). Descartes introduisit sa propre méthode des coordonnées, avec
un système de droites servant de référence dans l’espace géométrique, sous
une forme un peu différente cependant de celle qui sera utilisée au 20
ème
siècle. Il modifia la classification ancienne des courbes, en regroupant d’un
côté les courbes qui pouvaient être décrites au moyen d’une équation algé-
brique (courbes algébriques), parmi lesquelles figuraient les coniques et celles
qu’il était possible de tracer au moyen d’une règle et d’un compas, et d'un
autre côté, il y avait le reste des courbes, qu’il appela mécaniques, et qui cor-
respondront dans la classification moderne aux courbes transcendantes.
Une autre contribution importante au développement de la géométrie
analytique a été apportée par Pierre Fermat (1601-1665), dont la concep-
tion des courbes comme lieux géométriques (c’est-à-dire comme ensemble
de points qui vérifiaient une équation) était précursive des futures concep-
tions modernes, où l’algèbre pourra être appliquée indépendamment d’une
interprétation géométrique. Fermat est devenu célèbre en outre pour ses
études d’arithmétique approfondies, qui avaient comme point de départ
une relecture attentive de l’œuvre de Diophante.
Ces études ont même servi à la théorie moderne des nombres, qui en a
pris pour objet les propriétés intrinsèques. Il faut noter aussi que beaucoup
des résultats obtenus par Fermat ont été écrits en marge de sa copie du
manuel de Diophante, sans démonstration. Pour cette raison, on ignore s’il
s’agissait de véritables théorèmes, c’est-à-dire de propositions dont il aurait
pu donner une démonstration, ou bien de simples conjectures faites par
un mathématicien quand il a l’intuition qu’un fait mathématique est vrai,
même s’il ne réussit pas encore à le démontrer. Ces conjectures pouvaient
être un guide intéressant pour la recherche, lorsqu’elles permettaient de
focaliser des réflexions pour démontrer ou réfuter une proposition. Une
célèbre conjecture de Fermat, présentée comme son dernier théorème, a
résisté 350 ans à toute tentative de démonstration avant d’être démontrée,
avec un grand impact alors dans le monde mathématique.
Mais la véritable innovation qui rendit finalement probante la descrip-
tion mathématique des phénomènes de la mécanique a été le développe-
ment du calcul infinitésimal, c’est-à-dire d’un calcul tenant compte de
quantités infinitésimales, non constantes, et aussi petites que nécessaire.
La mécanique, au moyen de ce nouveau type de calcul, a pu s’imprégner
d’apports mathématiques, et les mathématiques à leur tour ont pu évo-
luer sous l’influence de certains concepts de la mécanique.

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