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L’ensemble des trajectoires qui représentent toutes les évolutions
possibles du système, s’appelle un diagramme des états, ou un diagramme
des phases. En poursuivant notre exemple, nous pouvons considérer
maintenant la résistance que l’air oppose au mouvement, qui fait que la
balle accomplit un certain nombre d’oscillations, dans lesquelles le res-
sort s’allonge de moins en moins, jusqu’à revenir à sa position de repos.
Il s’agit d’un mouvement particulier, appelé oscillateur amorti. Là, le dia-
gramme des phases est un ensemble de spirales qui s’enroulent autour du
point O = (0,0), où le déplacement est 0 et la vitesse 0, autrement dit
quand l’oscillateur est au repos, et qu’il occupe une position d’équilibre.
L’examen d’un tel diagramme a l’avantage de permettre de comparer
toutes les évolutions possibles du système dynamique, en fournissant une
vision globale. En fait, même si les conditions initiales peuvent avoir une
infinité de valeurs et de combinaisons différentes, le diagramme nous fait
comprendre de quel type sera en règle générale le mouvement. Et un
phénomène important ainsi illustré est le comportement des trajectoires
sur une période qui nous intéresse.
Dans le langage des mathématiques, ce comportement est dit asymp-
totique, et il caractérise le comportement du système dans un temps qui
peut tendre jusqu'à l’infini. Lorsque le point O semble attirer toutes les
trajectoires vers lui, comme s’il les engloutissait, il est appelé puits. Cette
image didactique correspond au fait qu’à long terme, le système qui oscille
atteindra toujours l’état d’équilibre, de repos. On dit alors que le point O
est un attracteur. Il se peut qu’un attracteur soit caractérisé par un mouve-
ment périodique plutôt que par un état d’équilibre. Mais si un système peut
initialement emprunter une voie différente, avec le temps (ou comme on
dit, quand le temps tend vers l’infini), il reviendra vers une oscillation pré-
férée. C’est le cas, par exemple, du pendule d’une horloge mécanique.
Et c’est particulièrement là qu’on a longtemps eu recours aux équations
différentielles, qui avaient été utilisées d’abord pour représenter des phé-
nomènes mécaniques, c’est-à-dire des phénomènes qui dépendaient des
mouvements des corps. La complexité de certains systèmes justifiait l'em-
ploi de tels outils. Pensons à un problème de la mécanique céleste, comme
celui que pose le mouvement du système formé par le Soleil, la Terre et la
Lune, sous l’influence de la force d’attraction gravitationnelle. Pour con-
naître la position de chacun de ces astres, on avait besoin de trois coordon-
nées, et dans l’analyse du système intervenaient neuf variables de position,
qui dépendaient du temps, et auxquelles il fallait ajouter les variables vi-
tesse, si bien que le mouvement était déterminé par dix-huit coordonnées.

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