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Quelle est l’étape suivante de la démarche, une fois obtenue cette
équation différentielle ? La voie la plus implicitement évidente est d’es-
sayer de la résoudre. Résoudre cette équation différentielle, cela veut dire
obtenir une formule décrivant l’évolution de la variable en fonction du
temps. Outre des opérations arithmétiques élémentaires, cette formule
implique l'usage d'une autre fonction mathématique, la fonction cosinus,
qui associe à chaque instant de temps t une certaine valeur.
Le résultat est une fonction un peu plus compliquée, qui fournit pour
chaque valeur du temps (mesuré, par exemple, en secondes), le déplace-
ment longitudinal de la balle (mesuré, par exemple, en mètres). Le mouve-
ment est néanmoins décrit de façon vérifiable expérimentalement. Et quoi
qu'il en soit, on peut retenir qu’une équation différentielle est une formule
d’usage général qui permet de décrire différents systèmes. Pour chaque sys-
tème, la variable peut être interprétée de façon appropriée, et les coeffi-
cients correspondent à des données de différente nature. Au lieu du dépla-
cement longitudinal de l’exemple précédent, on peut suivre la variation de
température d’un corps, ou la concentration ionique d’un plasma, etc.
Dans ces conditions, chaque système en mesure d’être décrit par une
équation, comme celle que nous venons de prendre en exemple, est ce
qu’on appelle un oscillateur harmonique. Mais il ne faut pas penser que
la résolution d’une équation différentielle est toujours une chose facile. Il
peut être souvent impossible d’obtenir la loi horaire d'un mouvement.
C’est pourquoi les mathématiciens des 18 et 19 siècles avaient éla-
ème
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boré des équations différentielles qui décrivaient de nombreux phénomènes
physiques, mais tout en constatant que l’analyse mathématique était souvent
incapable de fournir une solution explicite complète de ces équations. En
complément, certains ont donc mis au point une méthode d’analyse com-
plémentaire fondée sur une représentation géométrique de l’évolution du
système dynamique. Cette méthode se fondait sur un type de représentation
graphique compatible avec celle des oscillations du ressort, et qui parvenait
à la détermination d’une courbe, représentative d'une trajectoire.
Dans ce cas, le temps n’apparaissait pas clairement et précisément, mais
on pouvait -faute de mieux- situer la position et la vitesse de l’objet étudié,
c’est-à-dire les principales variables d’état du système. L’ensemble de tous
les états possibles (x, v) est appelé espace des états ou espace des phases.
Pour différentes amplitudes (donc pour différentes conditions initiales), on
obtenait toujours des courbes fermées, puisque -dans notre exemple- la
balle réoccupait cycliquement les mêmes positions à la même vitesse.

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