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C’est ainsi qu’on peut mesurer la masse de la balle (en grammes, par
exemple), tout en considérant comme négligeable la masse du ressort,
c’est-à-dire en supposant que cette masse est nulle. Bien entendu, si cela
était vrai dans la réalité, le ressort n’existerait pas et il n’y aurait pas de
mouvement, ce qui constitue un paradoxe. Nous pouvons aussi complè-
tement ignorer le frottement, qui est pourtant présent dans les expé-
riences réelles. Enfin, seul le déplacement longitudinal de la balle nous
intéressera, si bien que même si le système physique est placé dans un
espace réel à trois dimensions (longueur, largeur, profondeur) et que
nous le dessinons schématiquement en deux dimensions (les dimensions
de l’écran de l’ordinateur), nous l’analyserons de cette manière simplifiée.
Après cette simplification arbitraire, examinons le mouvement. La
balle acquiert une vitesse v, et dans un mouvement à vitesse constante,
comme nous le savons, la vitesse peut être calculée en divisant l’espace
parcouru par le temps écoulé. Dans ce cas, la vitesse change continuelle-
ment, mais la vitesse de la balle à tout instant est mesurable mathémati-
quement par la dérivée de l’espace par rapport au temps.
Et la variation de la vitesse, lorsque le mouvement est accéléré ou
ralenti, est donnée par la dérivée de la vitesse par rapport au temps. L’ac-
célération est par conséquent la dérivée de la dérivée de l’espace par rap-
port au temps, ou autrement dit la dérivée seconde de l’espace par rap-
port au temps. Et puisque la deuxième loi de Newton affirme que la force
appliquée au corps est égale au produit de sa masse m par l’accélération,
on peut alors faire une simple transformation, qui nécessite seulement un
passage algébrique élémentaire.
Une équation de ce type, dans laquelle interviennent une variable x et
ses dérivées (dans notre cas, seulement la dérivée seconde), s’appelle en
mathématiques une équation différentielle. En l’occurrence, il s’agit de
l’équation différentielle d’un mouvement. Et un théorème mathématique
affirme que, si on connaît les conditions initiales d’une action (dans notre
cas, l’allongement initial du ressort et sa vitesse initiale, qui est ici égale à
0), il existe une seule et unique solution à l’équation.

En d’autres termes, cette équation différentielle, avec ses conditions
initiales, fournit théoriquement une information suffisante sur le mouve-
ment. Et puisqu’il est souvent simple de déterminer les valeurs des varia-
tions de la variable, c’est-à-dire des dérivées, et d’obtenir de la sorte une
équation différentielle, cette méthode de calcul est agréable pour un es-
prit éduqué et conformé à cette gymnastique conceptuelle.

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