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En 830, Muhammad ibn Musa al-Kharezmi (connu sous le nom latinisé
d’Algorizmi, origine du mot algorithme), écrivit un traité pour expliquer les
nombres indiens, appelés ensuite indo-arabes. Cela mena au développe-
ment de deux systèmes de symboles, dont l’un est encore un peu utilisé au
Proche-Orient, mais dont l’autre, celui des nombres gubari (ou nombres
de la poussière, parce que les calculs étaient faits sur un tableau couvert de
poussière), s’est répandu en occident en passant par l’Afrique du Nord et
l’Espagne, et en y amenant les symboles 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 et 0.
En Orient, les astronomes continuèrent cependant longtemps à utili-
ser le système d’écriture numérique de l’Almageste de Ptolémée, qui re-
courait aux lettres de l’alphabet (grec, puis arabe) pour la partie entière,
aux symboles grecs pour le zéro, et au système sexagésimal pour les frac-
tions. Les Arabes appelaient le zéro sifr, qui signifie place vide (d’où pro-
vient le mots chiffre). Mais l’innovation principale des mathématiques
arabes fut le développement de l’algèbre (al jabr).
L’algèbre est une partie des mathématiques visant à la solution des
équations, qui s’est développée à partir de l’arithmétique. Comme nous
l’avons vu, dès les temps les plus anciens, avaient été énoncés des pro-
blèmes mathématiques dans lesquels on cherchait un nombre (un prix, une
aire, un héritage) dont on connaissait certaines conditions, qui pouvaient
être quantifiées dans une équation. Dès l’Antiquité, différentes professions
avaient développé des règles et des recettes pour résoudre ces équations.

Diophante avait tenté de les formuler de manière structurée, et il avait
introduit certains symboles pour écrire de façon abrégée les termes mis
en équation. Mais les savants arabes réussirent à faire encore mieux. Al-
Kharezmi n’utilisait pas de symboles, si bien que son algèbre a été appelée
algèbre rhétorique, avec quoi il expliquait la façon par laquelle les diffé-
rents problèmes mathématiques à résoudre correspondaient à six types
fondamentaux d’équations de second degré. Et il indiquait comment les
résoudre au moyen d’opérations de al-jabr (remplissage) et al-muqabala
(mise en équilibre, en opposition), qui correspondaient à des transforma-
tions élémentaires d’équations.

Pendant les siècles suivants, l’algèbre arabe connut un essor notable
et devint une discipline théorique mature. Des savants comme al-Karagi
et ses disciples, ainsi que le syrien Thabit ibn Qurrah, imaginèrent de
nouvelles méthodes et tentèrent de démontrer les règles d’al-Kharezmi
sur la base des Éléments d’Euclide, en ayant recours à des constructions
géométriques, ou en se fondant sur une théorie des proportions.

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