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Là, on peut dire que deux figures sont semblables quand chacune
d’elles peut être considérée comme un agrandissement ou une réduction
de l’autre. En langage mathématique, deux figures semblables ont des
angles correspondants égaux et des côtés adjacents aux angles égaux pro-
portionnels. Dans les livres VII, VIII et IX, la théorie des proportions a
été utilisée pour étudier les propriétés des nombres comme la divisibilité,
les nombres premiers, etc. Dans le livre X est décrit l’algorithme épo-
nyme (algorithme d’Euclide) qui sert à déterminer le plus grand commun
diviseur de deux nombres, et ce livre traite de certaines quantités irration-
nelles du type de V2 ou 3-V5, qui apparaissaient souvent dans les cons-
tructions géométriques. Dans les derniers livres, sont étudiées les pro-
priétés des figures dans l’espace, et le traité se termine par l’étude des cinq
polyèdres réguliers : tétraèdre, cube, octaèdre, dodécaèdre et icosaèdre.
On peut noter que ces solides représentent aussi des figures cosmo-
logiques, ou des solides platoniciens, ainsi nommés parce que Platon,
dans le Timée, les associait au cosmos, reprenant les conceptions de na-
ture mystique des pythagoriciens. On y retrouve que toutes les choses
seraient constituées de quatre éléments (terre, air, eau et feu), lesquels
seraient constitués à leur tour, respectivement, de cubes, d’icosaèdres,
d’octaèdres et de tétraèdres. Platon écrivit à propos du dodécaèdre qu’un
dieu s’en servit pour compléter le dessin de l’Univers.
En complément de ses Eléments, Euclide rédigea un traité d’optique,
dans lequel les rayons visuels étaient représentés par un faisceau de seg-
ments qui allaient de l’œil (considéré comme un point) aux différents objets
géométriquement descriptibles. C’est le plus ancien exemple d’une tenta-
tive d’explication d’un phénomène physique (dans ce cas, le phénomène
de la propagation de la lumière) au moyen du langage de la géométrie.
Euclide travailla et enseigna à Alexandrie, devenue la capitale de l’em-
pire fondé par Alexandre le Grand. Après la mort de ce conquérant,
Alexandrie était devenue la capitale de l’empire gréco-égyptien des Pto-
lémées, et à la fin du 4 ème siècle, cette cité abritait une communauté active,
cosmopolite, riche en activités culturelles. Sa célèbre bibliothèque avait
recueilli de nombreux objets dans les différentes villes de Grèce et d’Asie
Mineure (y compris dans la bibliothèque du lycée d’Aristote, à Athènes).
Le musée d’Alexandrie était un grand centre d’études, où enseignaient
des maîtres aidés par le monarque. Il y avait des salles d’étude, un obser-
vatoire astronomique, un jardin botanique. On y étudiait la littérature, les
mathématiques, l’astronomie, et la médecine.

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