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Considérés comme des facteurs constitutifs de la matière, ces nombres
étaient présumés être des clefs de l’explication globale du cosmos. Les py-
thagoriciens élaborèrent une véritable mystique des nombres, attribuant un
nombre à chaque chose. Parallèlement ils développèrent l’arithmétique, et
ils furent même -selon Aristote- parmi ceux qui firent le plus progresser les
mathématiques, en prolongement de l’école Ionienne.
Les nombres des pythagoriciens étaient conçus comme des collections
utiles d’unités, et représentés par des configurations géométriques de points.
Chaque chose était représentable par une figure, constituée de points indi-
visibles. Selon ce principe, des nombres triangulaires, carrés, et polygonaux,
étaient regroupés et étudiés pour essayer de comprendre notamment com-
ment ces nombres contribuaient à la génération de ce qui existait.
Car les lois de formation des nombres étaient supposées être aussi des
lois de formation des choses, permettant d’expliquer le monde physique,
et ceci jusqu’au contexte moral. Une règle importante était l’opposition
entre les nombres pairs et impairs. Selon les pythagoriciens, il existait
dans le cosmos une tension entre le pair et l’impair, l’unité et la multipli-
cité, le mâle et la femelle, le bien et le mal, tension qui pouvait se résoudre
en harmonisant les opposés.
La monade, le un, y était un principe d’identité. La dyade, ou deux,
était le premier nombre pair et féminin. La triade était le premier nombre
impair et masculin. Tandis que la décade, groupe de 10 unités, avait une
valeur magique.
Il semble que les pythagoriciens appréciaient certains groupes particu-
liers de nombres, comme les nombres amis (deux nombres étaient amis si
chacun était la somme des diviseurs propres de l’autre) et les nombres par-
faits (c’est-à-dire les nombres égaux à la somme de leurs diviseurs propres).
Ils avaient aussi théorisé certaines proportions entre les nombres.

Là, même la musique pouvait être régie par une théorie des nombres,
car des sons harmonieux devaient résulter de proportions entre des
nombres entiers. Dans les accords des cordes sonores, le rapport entre
la longueur et la vibration des cordes pouvait s’exprimer. D’autres re-
cherches des pythagoriciens leur permettaient d’établir aussi qu’il existait
des proportions entre des grandeurs qui ne pouvaient pas être exprimées
par ces nombres entiers. Par exemple, si l’on dessinait un carré dont le
côté avait une longueur de 4 unités et si l’on comparait le côté avec la
diagonale d, on n’obtenait pas un nombre entier. Dans ce cas, on quali-
fiait la diagonale du carré d'incommensurable avec le côté.

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