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Aristote (384-322 avJC) analysa et exposa clairement à son tour la
structure de ce type de connaissance rationnelle. Il introduisit une distinc-
tion entre les axiomes (définitions ou hypothèses) et les thèses, et il for-
mula des règles de logique sur lesquelles devait reposer tout raisonnement
déductif, créant un modèle qui allait rester longtemps une référence clas-
sique. La géométrie constituait un savoir en partie abstrait, dans la mesure
où, pour Aristote, les objets mathématiques étaient en fait des abstractions
d’objets physiques, dont les propriétés étaient déduites selon les résultats
mathématiques. Cette conviction, qui associait les mathématiques à la ré-
alité en incluant leur abstraction, perdurera jusqu’au 20 ème siècle.
La plupart des traités composés dans ces premiers siècles de dévelop-
pement mathématique ont disparu. Toutefois, on a retrouvé certains trai-
tés de la période hellénistique alexandrine, qui résument et classent cette
importante tradition de recherche. Le plus célèbre de ces traités est sans
aucun doute les Éléments d’Euclide. Composé de treize livres, il fut écrit
au 3 ème siècle avJC et il eut une influence considérable sur la recherche et
sur l’enseignement des mathématiques pendant plus de deux millénaires.
Cette œuvre, qui représente la compilation la plus imposante des ma-
thématiques grecques, a servi durablement de support et de référence à la
construction de mathématiques ultérieures. Effectivement, avec cela, en
partant de quelques thèses et principes fondamentaux, même en partie in-
tuitifs, on pouvait déduire une grande quantité de résultats géométriques
de plus en plus complexes, de façon claire et rigoureuse sur le plan logique.
Au début des Éléments, étaient énumérées les définitions des concepts
de base qui pouvaient être utilisés tout au long de l’œuvre : le point est une
entité qui n’a pas de parties ; la ligne est une longueur sans largeur ; la ligne
droite est le plus court chemin pour aller d’un point à un autre ; une surface
est une entité qui a une longueur et une largeur mais pas d’épaisseur. En-
suite étaient énumérés cinq postulats basiques, c’est-à-dire cinq propriétés
que l’on considérait comme vraies afin de pouvoir développer le reste de
la théorie. Euclide énumérait en outre des notions communes, ou axiomes,
qui explicitaient certaines idées logiques servant à développer le raisonne-
ment, en géométrie comme dans n’importe quelle autre science.
Cette approche structurée permit à Euclide (325-285 avJC) de mettre
en bon ordre toutes les cartes alors connues du jeu intellectuel de la géo-
métrie. Il y démontra la puissance d’un raisonnement qui permettait
d’obtenir des résultats certains, et parfois très complexes, que l’intuition
ou l’expérience seuls ne permettraient pas d’atteindre.

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